A Survey on Large Language Models with some Insights on their Capabilities and Limitations

https://arxiv.org/abs/2501.04040

使用 MATLAB 的 ode45 求解常微分方程

简介

ode45 是 MATLAB 中一个常用的数值解常微分方程 (ODE) 的函数。它基于经典的 Runge-Kutta 方法，适用于求解非刚性方程。本文将介绍 ode45 的基本使用方法和一些简单的实例。

非刚性方程是指那些在数值求解时，不需要特别小的时间步长来保证稳定性的常微分方程。这类方程在数值求解过程中一般没有明显的数值振荡和稳定性问题，可以使用常规的数值方法如 ode45 等进行求解。

“45” 代表的是该方法使用了一个四阶的 Runge-Kutta 方法和一个五阶的 Runge-Kutta 方法。

四阶和五阶 Runge-Kutta 方法

• 四阶 Runge-Kutta 方法 (RK4) ：这个方法以其简单性和广泛的精度而著名。它在每个时间步长 h 中，通过评价四次斜率，来估计当前点的增量。
• 五阶 Runge-Kutta 方法 (RK5) ：它是四阶方法的扩展，通过评价额外次数的斜率，进一步提高了精度。

ode45 的基本原理

1. ode45 组合使用了四阶和五阶 Runge-Kutta 方法，属于所谓的 Runge-Kutta-Fehlberg 方法。其基本工作原理如下：
2. 每一步计算时，ode45 同时执行四阶和五阶的方法。
3. 比较两者的结果，估计误差。
4. 根据误差估计，动态调整步长：如果误差较大，减小步长；如果误差较小，增大步长。

基本模型

电机模型：

$V_m=i_aR_a+L_a\frac{di_a}{dt}+E_b$

反电动势 (emf) $E_{b}$ 与角速度 $\dot{\varphi}$ 相关。

$E_{b}=K_{b}\dot{\varphi}$

因为：$L_a<<R_a$

所以： $i_a=\frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a}$

电机转矩 $\tau$ 和反电动势 (emf) 有关：