Matlab





```
% -----------------------------------------------------------------------------------------------
% Written by QQ742971636
% -----------------------------------------------------------------------------------------------
% 习题  对实验数据进行 lagrange 插值、三次样条插值
%          绘制出实验数据散点图，lagrange插值函数图，三次样条插值图
% ------------------------------------------------------------------------------------------------
% --------------------------------------------------------------------------------------------
% 实验数据 x y 初始赋值，画出原始数据折线图
% --------------------------------------------------------------------------------------------
clc,clear
x=[0.0 0.5 1.0 6.0 7.0 9.0];
y=[0.0 1.6 2.0 1.5 1.5 0.0];
scatter(x,y,'k');                                                      %画出原始数据散点图
hold on
% --------------------------------------------------------------------------------------------
% lagrange插值过程
% --------------------------------------------------------------------------------------------
syms t;                                                                 %系统变量
n = length(x);                                                       %x长度
f = 0.0;                                                                %lagrange插值多项式初始化
for i = 1:n                                                            %循环计算基函数
    l = y(i);
    for j = 1:i-1                                                       %计算基函数某个项前面一截，i之前的
        l = l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));
    end
    for j = i+1:n                                                      %计算基函数某个项后面一截，i之后的
        l = l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));
    end
    f = f + l;                                                           %得出最后的lagrange插值多项式
    simplify(f);                                                       %化简多项式
    if(i==n)
        f = collect(f);                                                %合并同类项
        f = vpa(f,6);                                                  %截断表达
    end
end
disp("lagrange插值多项式结果：");  
disp(f);                                                                %打印最后的lagrange插值多项式
% --------------------------------------------------------------------------------------------
% 画图
% --------------------------------------------------------------------------------------------
x0=linspace(0,9,200);
f0 = subs(f,'t',x0);
plot(x0,f0,'r');                                                       %画图
hold on
% --------------------------------------------------------------------------------------------
% 实验数据 x y 初始赋值
% --------------------------------------------------------------------------------------------
x=[0.0 0.5 1.0 6.0 7.0 9.0];
y=[0.0 1.6 2.0 1.5 1.5 0.0];
% --------------------------------------------------------------------------------------------
% 三次样条 插值过程
% --------------------------------------------------------------------------------------------
n = length(x);                                                       %计算长度
a = y(1 : end - 1);                                                 %插入n-1个
b = zeros(n - 1, 1);                                               % 三次样条插值函数的系数
d = zeros(n - 1, 1);
dx = diff(x);                                                          %计算剖分差距h
dy = diff(y);                                                          %计算剖分差距
A = zeros(n);
B = zeros(n, 1);
A(1, 1) = 1;                                                          %边界条件
A(n, n) = 1;                                                          %边界条件
% --------------------------------------------------------------------------------------------
% 构建系数矩阵A*c=B
% --------------------------------------------------------------------------------------------
for i = 2 : n - 1
    A(i, i - 1) = dx(i - 1);
    A(i, i) = 2*(dx(i - 1) + dx(i));
    A(i, i + 1) = dx(i);
    B(i) = 3*(dy(i) / dx(i) - dy(i - 1) / dx(i - 1));
end
c = A \ B;                                                             %计算c
% --------------------------------------------------------------------------------------------
% 三次样条插值函数的系数
% --------------------------------------------------------------------------------------------
for i = 1 : n - 1
    d(i) = (c(i + 1) - c(i)) / (3 * dx(i));
    b(i) = dy(i) / dx(i) - dx(i)*(2*c(i) + c(i + 1)) / 3;
end
% --------------------------------------------------------------------------------------------
%  将点带入插值公式计算结果
% --------------------------------------------------------------------------------------------
xx=linspace(0,9,200);
XISHU=zeros(1,4);                                               %  三次样条系数
[mm, nn] = size(xx);
yy = zeros(mm, nn);
for i = 1 : mm*nn                                                  %  计算每一个元素
    for ii = 1 : n - 1                                                 %  选取分段函数系数
        if xx(i) >= x(ii) && xx(i) < x(ii + 1)
            j = ii;
            break;
        elseif xx(i) == x(n)
            j = n - 1;
        end
    end
    yy(i) = a(j) + b(j)*(xx(i) - x(j)) + c(j)*(xx(i) - x(j))^2 + d(j)*(xx(i) - x(j))^3;%计算插值结果
    XISHU=[XISHU;[a(j) , b(j),c(j),d(j)]];
end
XISHU=unique(XISHU,'rows');                              %  分段函数系数
XISHU=XISHU(2:6,:);
disp("三次样条分段函数系数矩阵：");
disp(XISHU);
% --------------------------------------------------------------------------------------------
%  画三次样条图
% --------------------------------------------------------------------------------------------
plot(xx,yy,'b');
hold on
legend("原始数据","lagrange插值","三次样条插值");
title("插值结果图")%标题
```


结果：

![在这里插入图片描述](/static/img/images/02782.png)

MATLAB lagrange插值 三次样条插值

Matlab





```
clear
% creat all input variable
disp('（1）中为A1   （2）中为A2');
A1 = [3.01,6.03,1.99;
        1.27,4.16,-1.23;
        0.987,-4.81,9.34];
A2 = A1;
A2(1,1) = 3.00;
A2(3,1) = 0.990;
b = [1,1,1]';
% display
disp('MAT A1 is ');
disp(A1);
disp('MAT A2 is ');
disp(A2);
disp('MAT b is ');
disp(b);
disp('detA1 is ');
disp(det(A1));
disp('detA2 is ');
disp(det(A2));
disp('cond(A1,1) is ');
disp(cond(A1,1));
disp('cond(A1,2) is ');
disp(cond(A1,2));
disp('cond(A1,inf) is ');
disp(cond(A1,inf));
%列主元消去法          
disp('在（1）中的情况：');
A = A1;
B = [A,b];
n = length(b);
rankA=rank(A);
rankB=rank(B);
if rankB-rankA>0
    disp('此方程组无解.\n')
end
if rankA==rankB
    if rankA==n
        fprintf('rankA=rankB=%d,有唯一解.\n',n)
        X=zeros(n,1);
        for p=1:n-1
              t=find(abs(B(p:end,p))==max(abs(B(p:end,p))))+p-1;
              if abs(B(t,p))~=abs(B(p,p))
                    l=B(t,:);
                    B(t,:)=B(p,:);
                    B(p,:)=l;
              end  %列主元判断
              for k=p+1:n     
                    m= B(k,p)/ B(p,p);
                    B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1);
              end
        end
        %把方程组系数矩阵A化为同解的上三角矩阵
        b=B(1:n,n+1);
        A=B(1:n,1:n); 
        X(n)=b(n)/A(n,n);
        for q=n-1:-1:1
            X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);
        end
        %从xn至x1逐个求解上三角方程组
    else
        disp('rankA=rankB<n，有无穷多解.')
        return
    end
end
disp('方程组的解为：');
disp(X)
%列主元消去法          
disp('在（2）中的情况：');
A = A2;
B = [A,b];
n = length(b);
rankA=rank(A);
rankB=rank(B);
if rankB-rankA>0
    disp('此方程组无解.\n')
end
if rankA==rankB
    if rankA==n
        fprintf('rankA=rankB=%d,有唯一解.\n',n)
        X=zeros(n,1);
        for p=1:n-1
              t=find(abs(B(p:end,p))==max(abs(B(p:end,p))))+p-1;
              if abs(B(t,p))~=abs(B(p,p))
                    l=B(t,:);
                    B(t,:)=B(p,:);
                    B(p,:)=l;
              end  %列主元判断
              for k=p+1:n     
                    m= B(k,p)/ B(p,p);
                    B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1);
              end
        end
        %把方程组系数矩阵A化为同解的上三角矩阵
        b=B(1:n,n+1);
        A=B(1:n,1:n); 
        X(n)=b(n)/A(n,n);
        for q=n-1:-1:1
            X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);
        end
        %从xn至x1逐个求解上三角方程组
    else
        disp('rankA=rankB<n，有无穷多解.')
        return
    end
end
disp('方程组的解为：');
disp(X)
%use matlib 
%disp('使用matlib直接求解');
%disp(A2\b);
```



结果

```
>> Untitled
（1）中为A1   （2）中为A2
MAT A1 is 
    3.0100    6.0300    1.9900
    1.2700    4.1600   -1.2300
    0.9870   -4.8100    9.3400
MAT A2 is 
    3.0000    6.0300    1.9900
    1.2700    4.1600   -1.2300
    0.9900   -4.8100    9.3400
MAT b is 
     1
     1
     1
detA1 is 
   -0.0305
detA2 is 
   -0.4070
cond(A1,1) is 
   5.5228e+04
cond(A1,2) is 
   3.0697e+04
cond(A1,inf) is 
   5.6751e+04
在（1）中的情况：
rankA=rankB=3,有唯一解.
方程组的解为：
   1.0e+03 *
    1.5926
   -0.6319
   -0.4936
在（2）中的情况：
rankA=rankB=3,有唯一解.
方程组的解为：
   56.3415
  -22.1547
  -17.3024
```

MATLAB 列主元消去法 解方程组

Matlab





```
clc
clear
n=input('请输入矩阵的阶数n：');
A=zeros(n);
%构造矩阵A
for m=1:n
    A(m,m)=20;
end
for m=1:n-1
    A(m,m+1)=-8;
    A(m+1,m)=-8;
end
for m=1:n-2
    A(m,m+2)=1;
    A(m+2,m)=1;
end
disp(A)
%%%%%%%%%%%%%%Jacobi迭代法求解
%用矩阵X的行向量来存放每一次迭代的解
for m=1:n
    X(1,m)=1;
    Y(1,m)=0;
end
fs=1;  %设置初始值，以便开始下方的循环
t=1;
while fs >10^(-6)
    for p=1:n
        Y(t,:)=X(t,:);   %第t次迭代
        Y(t,p)=0;   %与解有关，与第几次迭代无关
        X(t+1,p)=-Y(t,:)*A(p,:)'/A(p,p);   %第t次迭代的第p个解
    end
    C=zeros(1,n);
    for u=1:n
        C(u)=abs(X(t+1,u));
    end
    fs=max(C);
    t=t+1;
end
t-1      %显示迭代次数
```

MATLAB Jacobi迭代法求解

Matlab





```
% -----------------------------------------------------------------------------------------------
% Written by QQ742971636
% -----------------------------------------------------------------------------------------------
% f(x)=(10/x)^2*sin(10/x);
% 10个子区间 每个子区间n=4 复合高斯勒让德求积分
% ------------------------------------------------------------------------------------------------
XX=[-0.9061798459,-0.5384693101,0,0.5384693101,0.9061798459]; %查表得到的取点
AA=[0.2369268851,0.4786286705,0.5688888889,0.4786286705,0.2369268851];%查表得到的系数
x=linspace(1,3,11); %取10个子区间 也就是11个x坐标点
integral_zi=zeros(1,10); %记录每个子区间的积分结果
for cycles=1:10    %计算10个子区间积分
    a=x(cycles);   %每个子区间的左端点
    b=x(cycles+1);%每个子区间的右端点
    S=0;  %结果暂时存
    for k=1:5  %迭代算高斯勒让德公式的每一项
        tt=(b-a)/2*XX(k)+(a+b)/2; %变换积分区间为-1为1
        S=S+AA(k)*(10/tt)^2*sin(10/tt);  %算出-1到1上的高斯勒让德积分
    end
    integral_zi(cycles)=(b-a)/2*S;  %补上系数(b-a)/2 得到子区间积分结果
end
integral=sum(integral_zi);  %10个子区间的积分结果相加 
fprintf("积分结果是    %f\r\n",integral); %打印积分结果
```

结果
```
积分结果是    -1.426025
```

matlab 10个子区间 每个子区间n=4 复合高斯勒让德 求积分

Matlab





```
% -----------------------------------------------------------------------------------------------
% Written by QQ742971636
% -----------------------------------------------------------------------------------------------
% 计算实习题1    使用各种迭代法解分线性方程x^3+2*x^2+10*x-20=0.
% ------------------------------------------------------------------------------------------------
clc,clear
leonardo_x=1.368808107;                                    %勒让德得到的解
initx=1.0;                                                              %迭代值的初始值
% -----------------------------------------------------------------------------------------------
%  分析第 1 种迭代法是否收敛x=20/(x^2+2*x+10)
% ------------------------------------------------------------------------------------------------
syms x
fai=20/(x^2+2*x+10);                                            %x=fai(x)
y=diff(fai);                                                            %计算导函数
y1 = subs(y,x,1.368808107);                                %求在x0处的导数值
y1=abs(y1);                                                         %绝对值
fprintf('第 1 种方法，x=20/(x^2+2*x+10)，|fai`(x*)| =%.10f\r\n',double(y1));
if(y1<1)                                                                %有y=|fai`(x*)|<1收敛
    x=initx;                                                             %赋解的初值
    n=0;                                                                 %迭代次数
    while(abs(x-leonardo_x)>1e-9)                         %一直计算到勒让德解的精度
        x=20/(x^2+2*x+10);                                      %迭代公式计算
        n=n+1;                                                        %迭代次数增加一次
    end
    fprintf(" 该方法|fai`(x*)| <1，收敛，最后解是 %.10f，迭代了%d次\r\n",x,n);
else                                                                     %有y=|fai`(x*)|>1不收敛
    fprintf(" 该方法|fai`(x*)| 大于1，不收敛\r\n");
end
% -----------------------------------------------------------------------------------------------
%  第 1 种方法收敛，使用Steffensen法加速收敛速度
% ------------------------------------------------------------------------------------------------
x=initx;                                                                 %赋解的初值
n=0;                                                                     %迭代次数
while(abs(x-leonardo_x)>1e-9)                             %一直计算到勒让德解的精度
    y=20/(x^2+2*x+10);                                          %迭代公式计算
    z=20/(y^2+2*y+10);                                          %迭代公式计算
    x=x-(y-x)^2/(z-2*y+x);                                       %迭代公式计算
    n=n+1;                                                            %迭代次数增加一次
end
fprintf(" 使用Steffensen法加速，最后解是 %.10f，迭代了%d次\r\n",x,n);
fprintf("\r\n");
% -----------------------------------------------------------------------------------------------
%  分析第 2  种迭代法是否收敛 x=(20-2*x^2-x^3)/10.0
% ------------------------------------------------------------------------------------------------
syms x
fai=(20-2*x^2-x^3)/10.0;                                       %x=fai(x)
y=diff(fai);                                                            %计算导函数
y1 = subs(y,x,1.368808107);                                %求在x0处的导数值
y1=abs(y1);                                                         %绝对值
fprintf('第 2 种方法，x=(20-2*x^2-x^3)/10.0，|fai`(x*)| =%.10f\r\n',double(y1));
if(y1<1)                                                                %有y=|fai`(x*)|<1收敛
    x=initx;                                                             %赋解的初值
    n=0;                                                                 %迭代次数
    while(abs(x-leonardo_x)>1e-9)                         %一直计算到勒让德解的精度
        x=(20-2*x^2-x^3)/10.0;                                  %迭代公式计算
        n=n+1;                                                         %迭代次数增加一次
    end
    fprintf(" 该方法收敛，最后解是 %.10f，迭代了%d次\r\n",x,n);
else                                                                     %有y=|fai`(x*)|>1不收敛
    fprintf(" 该方法|fai`(x*)| >1，不收敛\r\n");
end
fprintf("\r\n");
% -----------------------------------------------------------------------------------------------
%  分析Newton迭代法是否收敛
% ------------------------------------------------------------------------------------------------
syms x
y1=x^3+2*x^2+10*x-20;                                       %迭代公式一部分
y2=diff(y1);                                                          %计算导函数
fai=x-y1/y2;                                                          %x=fai(x)
y=diff(fai);                                                            %计算导函数
y3 = subs(y,x,1.368808107);                                %求在x0处的导数值
y3=abs(y3);                                                         %绝对值
fprintf('第 3 种方法，Newton法，|fai`(x*)| =%.10f\r\n',double(y3));
if(y3<1)                                                               %有y=|fai`(x*)|<1收敛
    xk=initx;                                                           %赋解的初值
    n=0;                                                                %迭代次数
    while(abs(xk-leonardo_x)>1e-9)                       %一直计算到勒让德解的精度
        xk=double(subs(fai,x,xk));                            %迭代公式计算
        n=n+1;                                                        %迭代次数增加一次
    end
    fprintf(" 该方法|fai`(x*)| <1，收敛，最后解是 %.10f，迭代了%d次\r\n",xk,n);
else                                                                     %有y=|fai`(x*)|>1不收敛
    fprintf(" 该方法|fai`(x*)| 大于1，不收敛\r\n");
end
```


结果

```
第 1 种方法，x=20/(x^2+2*x+10)，|fai`(x*)| =0.4438283287
 该方法|fai`(x*)| <1，收敛，最后解是 1.3688081065，迭代了24次
 使用Steffensen法加速，最后解是 1.3688081078，迭代了3次
第 2 种方法，x=(20-2*x^2-x^3)/10.0，|fai`(x*)| =1.1096139329
 该方法|fai`(x*)| >1，不收敛
第 3 种方法，Newton法，|fai`(x*)| =0.0000000005
 该方法|fai`(x*)| <1，收敛，最后解是 1.3688081078，迭代了4次
```

matlab 使用各种迭代法解分线性方程x^3+2*x^2+10*x-20=0

我是一个专注技术分享的博主,尤其爱搞深度学习和单片机电子。你现在看到的是我的个人博客网站。