一个高中数学题目，已经点P1和点P2构成直线，经过P3点做已知直线的垂线，求垂线与已知直线的交点坐标。





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```python
p1 = [100, 15]
p2 = [16, 85]
p3 = [-50, 100]
if p2[0] - p1[0] == 0:
    # p1 p2 构成垂线，那么垂直线就是一条水平线
    x = p1[0]
    y = p3[1]
elif p2[1] - p1[1] == 0:
    # p1 p2 构成水平线，那么垂直线就是一条垂直线
    x = p3[0]
    y = p1[1]
else:
    slope = (p2[1] - p1[1]) / (p2[0] - p1[0])
    perpendicularSlope = -1 / slope
    intercept = p3[1] - perpendicularSlope * p3[0]
    x = (p3[1] - p1[1] + slope * p1[0] - perpendicularSlope * p3[0]) / (slope - perpendicularSlope)
    y = slope * (x - p1[0]) + p1[1]
# 绘制两条直线和交点
import matplotlib.pyplot as plt
plt.figure(figsize=(10, 10))
plt.plot([p1[0], p2[0]], [p1[1], p2[1]], color='b')
plt.plot([p3[0], x], [p3[1], y], color='r')
plt.scatter([x], [y], color='r')
# 给P1,P2,P3点加注释
plt.annotate('P1', xy=(p1[0], p1[1]), xytext=(p1[0] + 0.5, p1[1] + 0.5))
plt.annotate('P2', xy=(p2[0], p2[1]), xytext=(p2[0] + 0.5, p2[1] + 0.5))
plt.annotate('P3', xy=(p3[0], p3[1]), xytext=(p3[0] + 0.5, p3[1] + 0.5))
# 给交点加注释
plt.annotate('JD', xy=(x, y), xytext=(x + 0.5, y + 0.5))
# 让坐标轴比例一样
plt.axis('equal')
plt.show()
```

【Python】经过一个点P3的一条直线垂直于已知直线，求交点坐标

# 贝叶斯概率





通过条件概率以及贝叶斯公式，可以在已知某些条件的情况下，计算出某一事件发生的概率。下面我会详细解释条件概率和贝叶斯概率，并结合公式和例子进行说明。

### **条件概率**

条件概率是指在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作$P(A|B)$。公式如下：

$$

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

$$

其中，$P(A \cap B)$是事件A和事件B同时发生的概率。

**例子：**

我们有以下数据：

| 性别 | 职业  |

| ---- | ----- |

| 男   | 教师  |

| 男   | 学生  |

| 男   | 教师  |

| 女   | 学生  |

| 女   | 教师  |

| 女   | 教师  |

| 女   | 教师  |

| 女   | 教师  |

| 女   | 教师  |

| 女   | 教师  |

男性有3名，其中教师2名。我们要计算在性别是男(B)的条件下，职业是教师(A)的概率：

$$

P(A|B) = \frac{\text{性别是男且职业是教师的数量}}{\text{性别是男的总数量}} = \frac{2}{3}

$$

同样的，我们可以计算在职业是教师(A)的条件下，性别是男(B)的概率：

职业是教师的共有8名，其中男性2名。

$$

P(B|A) = \frac{\text{职业是教师且性别是男的数量}}{\text{职业是教师的总数量}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}

$$

### **联合概率**

联合概率$P(A, B)$表示事件A和事件B同时发生的概率。在上述例子中，即既是男，而且还是教师的比例：

$$

P(A, B) = \frac{2}{10}

$$

同时，我们可以用条件概率和边际概率来表示联合概率：

$$

P(A, B) = P(A \mid B) \cdot P(B) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{10} = \frac{2}{10}

$$

$$

P(A, B) = P(B \mid A) \cdot P(A) = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{10} = \frac{2}{10}

$$

### **贝叶斯概率**

贝叶斯概率是基于贝叶斯公式，用来计算在已知条件下，某一事件发生的概率。贝叶斯公式如下：

$$

P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(B)}

$$

我们用前面的数据来验证一下：

$$

P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(B)} = \frac{\frac{8}{10} \cdot \frac{2}{8}}{\frac{3}{10}} = \frac{\frac{16}{80}}{\frac{3}{10}} = \frac{2}{3}

$$

这与我们通过直接计算得出的结果是一致的。

### **代码示例**

接下来我们用Python代码来验证这些计算：

```python
# 定义数据
total_population = 10
male_population = 3
teacher_population = 8
male_teacher_population = 2
# 计算条件概率
P_A_given_B = male_teacher_population / male_population
P_B_given_A = male_teacher_population / teacher_population
# 计算联合概率
P_A_and_B = male_teacher_population / total_population
# 计算贝叶斯概率
P_A = teacher_population / total_population
P_B = male_population / total_population
P_A_given_B_bayes = (P_A * P_B_given_A) / P_B
# 输出结果
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.2f}")
print(f"P(B|A) = {P_B_given_A:.2f}")
print(f"P(A and B) = {P_A_and_B:.2f}")
print(f"P(A|B) using Bayes' theorem = {P_A_given_B_bayes:.2f}")
```

### **Key Concept**

贝叶斯概率是基于贝叶斯公式，用来计算在已知条件下某一事件发生的概率。

### **Key Concept Explanation**

贝叶斯公式是一个非常重要的工具，可以帮助我们在已知某些条件的情况下，重新评估事件的概率。它基于条件概率的概念，通过已知的概率关系，计算未知条件下的概率。在实际应用中，贝叶斯公式被广泛用于统计推断、机器学习、数据分析等领域。

# 实际应用示例

条件概率在日常生活中有许多实际应用，以下是几个常见的例子：

### **医疗诊断**

在医疗诊断中，医生常常需要判断在已经出现某些症状（条件B）的情况下，某种疾病（事件A）发生的概率。例如，假设我们有以下数据：

- 某疾病的总发病率：$P(D) = 0.01$

- 出现某种症状的总概率：$P(S) = 0.1$

- 在患有这种疾病的情况下出现症状的概率：$P(S|D) = 0.8$

我们需要计算在出现这种症状的情况下，患有这种疾病的概率，即$P(D|S)$。根据贝叶斯公式：

$$

P(D|S) = \frac{P(D) \cdot P(S|D)}{P(S)} = \frac{0.01 \cdot 0.8}{0.1} = 0.08

$$

### **天气预报**

在天气预报中，我们可能会遇到这样的情况：已知某天早上有云（条件B），那么下雨（事件A）的概率是多少。假设我们有以下数据：

- 某天有云的概率：$P(C) = 0.3$

- 某天会下雨的概率：$P(R) = 0.2$

- 在有云的情况下会下雨的概率：$P(R|C) = 0.6$

我们可以计算在有云的情况下下雨的概率：

$$

P(R|C) = \frac{P(R \cap C)}{P(C)} = \frac{P(R) \cdot P(C|R)}{P(C)}

$$

由于$P(R \cap C) = P(R) \cdot P(C|R)$，我们可以得到：

$$

P(R|C) = \frac{0.2 \cdot 0.6}{0.3} = 0.4

$$

### **信用评分**

在金融领域，银行会根据客户的某些行为（如按时还款，借贷记录等）来评估他们的信用风险。假设我们有以下数据：

- 某客户违约的概率：$P(D) = 0.05$

- 某客户有不良信用记录的概率：$P(B) = 0.1$

- 在有不良信用记录的情况下客户违约的概率：$P(D|B) = 0.4$

我们可以计算在客户有不良信用记录的情况下违约的概率：

$$

P(D|B) = \frac{P(D \cap B)}{P(B)} = \frac{P(D) \cdot P(B|D)}{P(B)} = \frac{0.05 \cdot 0.4}{0.1} = 0.2

$$

### **代码示例**

我们可以用Python代码来实现这些计算：

```python
# 医疗诊断
P_D = 0.01
P_S = 0.1
P_S_given_D = 0.8
P_D_given_S = (P_D * P_S_given_D) / P_S
print(f"医疗诊断: P(D|S) = {P_D_given_S:.2f}")
# 天气预报
P_R = 0.2
P_C = 0.3
P_C_given_R = 0.6
P_R_given_C = (P_R * P_C_given_R) / P_C
print(f"天气预报: P(R|C) = {P_R_given_C:.2f}")
# 信用评分
P_D = 0.05
P_B = 0.1
P_B_given_D = 0.4
P_D_given_B = (P_D * P_B_given_D) / P_B
print(f"信用评分: P(D|B) = {P_D_given_B:.2f}")
```

【数学】【概率论】如何理解贝叶斯概率

# 1 概率密度函数





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# 2 八个分布

![在这里插入图片描述](/static/img/images/00976.png)

![在这里插入图片描述](/static/img/images/00977.png)

![在这里插入图片描述](/static/img/images/00978.png)

![在这里插入图片描述](/static/img/images/00979.png)

# 3 期望

![在这里插入图片描述](/static/img/images/00980.png)

# 4 方差

![在这里插入图片描述](/static/img/images/00981.png)

# 5 有了大数定律后才有后面的

# 6 样本和统计量

![在这里插入图片描述](/static/img/images/00982.png)

![在这里插入图片描述](/static/img/images/00983.png)

![在这里插入图片描述](/static/img/images/00984.png)


# 6 点估计 利用期望求解估计量  例题

不论总体服从什么分布，样本均值是总体均值的无偏估计量。

总体 X ——某全体研究对象的某一指标。

样本——只研究“简单随机样本”：Xi 独立同分布于 X。

![在这里插入图片描述](/static/img/images/00985.png)

![在这里插入图片描述](/static/img/images/00986.png)

举例：

![在这里插入图片描述](/static/img/images/00987.png)

![在这里插入图片描述](/static/img/images/00988.png)


# 7 最大似然估计  利用似然函数求解估计量

![在这里插入图片描述](/static/img/images/00989.png)

![在这里插入图片描述](/static/img/images/00990.png)


![在这里插入图片描述](/static/img/images/00991.png)

# 8 估计量的评价标准  方差的除数为啥是n-1

![在这里插入图片描述](/static/img/images/00992.png)

![在这里插入图片描述](/static/img/images/00993.png)

![在这里插入图片描述](/static/img/images/00994.png)

![在这里插入图片描述](/static/img/images/00995.png)


# 9 置信区间

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![在这里插入图片描述](/static/img/images/00997.png)

[复习]概率论的一些知识

# 1 香农墒  量化信息  信息量大小





[https://baike.baidu.com/item/%E9%A6%99%E5%86%9C%E7%86%B5/1649961?fr=aladdin](https://baike.baidu.com/item/%E9%A6%99%E5%86%9C%E7%86%B5/1649961?fr=aladdin)

1948 年，香农提出了“信息熵”(shāng) 的概念，解决了对**信息的量化度量问题**。

实质就是：信息不确定性的多少。

对于任意一个随机变量 X，它的熵定义如下：

![在这里插入图片描述](/static/img/images/01003.png)

变量的不确定性越大，熵也就越大，把它搞清楚所需要的信息量也就越大。


# 2 交叉熵

[https://www.cnblogs.com/wangguchangqing/p/12068084.html](https://www.cnblogs.com/wangguchangqing/p/12068084.html)

非常好的解释：[https://www.zhihu.com/question/65288314/answer/244557337](https://www.zhihu.com/question/65288314/answer/244557337)

KL散度（度量2个概率分布之间的距离差异）公式：

![在这里插入图片描述](/static/img/images/01004.png)

交叉熵公式：

![在这里插入图片描述](/static/img/images/01005.png)

交叉熵=KL散度-熵

KL散度是非负的。

最小化KL散度 等价于 最小化交叉熵。

# 3 交叉熵损失函数

[https://zhuanlan.zhihu.com/p/35709485](https://zhuanlan.zhihu.com/p/35709485)

[https://zhuanlan.zhihu.com/p/35707643](https://zhuanlan.zhihu.com/p/35707643)

为什么它会在分类问题中这么有效呢？

主要原因是逻辑回归配合MSE损失函数时，采用梯度下降法进行学习时，会出现模型一开始训练时，**学习速率非常慢**的情况。

使用MSE的一个缺点就是其偏导值在输出概率值接近0或者接近1的时候非常小，这可能会造成模型刚开始训练时，偏导值几乎消失。

![在这里插入图片描述](/static/img/images/01006.png)

Cross Entropy Error Function（交叉熵损失函数）该函数是凸函数，求导时能够得到全局最优值。

![在这里插入图片描述](/static/img/images/01007.png)

![在这里插入图片描述](/static/img/images/01008.png)

![在这里插入图片描述](/static/img/images/01009.png)

香农墒 交叉熵

作者：Ghost





链接：[https://www.zhihu.com/question/51448623/answer/275721105](https://www.zhihu.com/question/51448623/answer/275721105)

来源：知乎

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<font face="微软雅黑" size = 5 color = red > **贝叶斯统计学派和频率派统计是不一样的。贝叶斯统计学派是含有先验知识的。** 

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概率论 贝叶斯公式

我是一个专注技术分享的博主,尤其爱搞深度学习和单片机电子。你现在看到的是我的个人博客网站。

贝叶斯概率

1 概率密度函数

1 香农墒 量化信息 信息量大小

1 香农墒量化信息信息量大小