自控，状态空间方程与传递函数的关系详解

状态空间方程与传递函数的关系详解

在控制系统中，状态空间方程和传递函数是两种常用的数学模型，它们分别代表了现代控制理论和经典控制理论的核心工具。本文将深入探讨它们之间的内在联系与相互转换方法，并通过实例解析帮助读者更好地理解这两种模型的关系。

一、基础概念回顾

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + B u \\ y = C\mathbf{x} + D u \end{cases}

其中： • $\mathbf{x}$ 为状态向量，包含系统的内部状态变量。

• $u$ 和 $y$ 分别为输入和输出。

• 矩阵 $A, B, C, D$ 定义了系统的动态、输入、输出及直馈关系。

G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}

对于微分方程 $a_n y^{(n)} + \dots + a_0 y = b_m u^{(m)} + \dots + b_0 u$ ，传递函数为：

G(s) = \frac{b_m s^m + \dots + b_0}{a_n s^n + \dots + a_0}

二、从状态空间方程到传递函数

通过对状态空间方程进行拉普拉斯变换（假设零初始条件），可以推导出传递函数：

s\mathbf{X}(s) = A\mathbf{X}(s) + B U(s) \implies \mathbf{X}(s) = (sI - A)^{-1} B U(s)

Y(s) = C\mathbf{X}(s) + D U(s) = \left[ C(sI - A)^{-1} B + D \right] U(s)

G(s) = C(sI - A)^{-1} B + D

关键步骤： • 计算矩阵 $(sI - A)$ 的逆。

• 矩阵乘法 $C(sI - A)^{-1} B$ 将维度从输入映射到输出。

• 若系统为SISO，结果退化为标量传递函数。

三、从传递函数到状态空间方程

传递函数到状态空间的转换称为实现问题，存在多种标准形式，如可控标准型、可观标准型等。以典型二阶系统为例：

传递函数：

G(s) = \frac{b_1 s + b_0}{s^2 + a_1 s + a_0}

可控标准型实现：

A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} b_0 & b_1 \end{bmatrix}, \quad D = 0

特点： • 状态变量直接对应传递函数的分子和分母系数。

• 状态矩阵的结构确保系统完全可控。

四、实例分析：倒立摆系统

以用户提供的倒立摆模型为例，其状态空间方程为：

\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + B V_m, \quad y = C\mathbf{x}

其中状态变量为 $\mathbf{x} = [\theta, \dot{\theta}, \varphi, \dot{\varphi}]^T$ ，输出为摆杆角度 $\theta$ 。

传递函数计算步骤：

简化分析：由于矩阵维度较高（4×4），手工计算繁琐，通常借助工具（如MATLAB的 ss2tf 函数）完成。例如，输入：

matlab
[num, den] = ss2tf(A, B, C, D);

即可获得分子和分母多项式，进而得到传递函数。

五、两种模型的对比

六、核心联系与本质区别

• 联系：两者均为LTI系统的数学模型，可通过拉普拉斯变换相互转换。

• 区别：

• 状态空间方程揭示系统内部结构，传递函数仅描述外部特性。

• 传递函数可能隐藏不可控/不可观模态，而状态空间保留所有模态。

七、总结

状态空间方程和传递函数是控制系统分析与设计的两个支柱。理解它们的转换关系及适用场景，能够帮助工程师灵活选择建模方法：状态空间适合多变量系统与现代控制算法，而传递函数在频域分析与经典控制设计中更为直观。通过工具辅助转换，可在两者间自由切换，充分发挥各自优势。