状态空间方程（State-Space Equation）是现代控制理论中描述动态系统的核心数学模型，它将系统的输入、输出和内部状态变量通过矩阵形式关联起来。以下是详细解释：

---

1. 状态空间方程的标准形式 状态空间方程分为两部分： • 状态方程（描述系统动态）：

• 输出方程（描述系统输出）：

其中： • $\mathbf{x}$：状态向量（如角度、速度等内部变量）

• $\mathbf{u}$：输入向量（如电机电压、外力等）

• $\mathbf{y}$：输出向量（如传感器测量值）

• $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}, \mathbf{D}$：系数矩阵，具体含义如下：

---

2. 矩阵的物理意义

矩阵	维度	物理意义
$\mathbf{A}$	$n \times n$	状态转移矩阵：描述状态变量之间的动态耦合关系（如 $\dot{\theta}$ 如何依赖 $\theta$）。
$\mathbf{B}$	$n \times m$	输入矩阵：描述输入如何影响状态的变化（如电压如何驱动电机转动）。
$\mathbf{C}$	$p \times n$	输出矩阵：定义哪些状态变量被观测为输出（如编码器测量角度 $\theta$）。
$\mathbf{D}$	$p \times m$	直接传递矩阵：输入到输出的直接耦合（通常为零，表示无瞬时影响）。

注：
• $n$ = 状态变量数量（如你的系统有4个状态：$\theta, \dot{\theta}, \varphi, \dot{\varphi}$）

• $m$ = 输入数量（如你的系统输入是 $V_m$，故 $m=1$）

• $p$ = 输出数量（取决于传感器配置）。

---

3. 以你的系统为例 你的倒立摆/旋转臂系统的状态空间方程为：

（假设输出 $\mathbf{y} = \mathbf{x}$，即所有状态可测量，此时 $\mathbf{C} = \mathbf{I}$，$\mathbf{D} = \mathbf{0}$）

矩阵具体含义： • $\mathbf{A}$ 的 第二行：

表示 $\dot{\theta}$ 如何受 $\theta$（重力项）、$\dot{\theta}$（阻尼）、$\dot{\varphi}$（电机反电动势）影响。

• $\mathbf{B}$ 的 第四行：

表示输入电压 $V_m$ 对 $\dot{\varphi}$ 的直接驱动效应。

---

4. 为什么需要状态空间方程？

1. 通用性：适用于线性/非线性（需线性化）、时变/时不变系统。
2. 控制设计：便于设计状态反馈控制器（如LQR）、观测器（如卡尔曼滤波）。
3. 仿真分析：可直接数值求解（如MATLAB中的 ss 函数）。

---

5. 补充说明 • 非线性系统：若原始方程包含 $\sin\theta$ 等非线性项，需在平衡点附近线性化（如 $\sin\theta \approx \theta$）得到 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$。

• 多输入多输出（MIMO）：矩阵维度会扩展，但逻辑相同。

通过状态空间方程，你可以将复杂的物理系统转化为矩阵运算，为后续控制算法设计奠定基础。