在带有惯性轮的倒立摆系统中，使用拉格朗日方程进行分析时，确定摆杆角度和惯性轮角度的方程右边的步骤如下：

1. 系统建模与广义坐标 • 摆杆角度：定义为摆杆与垂直方向的夹角，记为 $\theta$。

• 惯性轮角度：定义为惯性轮相对于摆杆的转角，记为 $\phi$。惯性轮的绝对转角为 $\theta + \phi$。

2. 动能与势能 • 摆杆的动能：

$T_p = \frac{1}{2} I_p \dot{\theta}^2$，其中 $I_p$ 为摆杆的转动惯量。 • 惯性轮的动能：

$T_w = \frac{1}{2} I_w (\dot{\theta} + \dot{\phi})^2$，其中 $I_w$ 为惯性轮的转动惯量。 • 总动能：

$T = T_p + T_w = \frac{1}{2} I_p \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} I_w (\dot{\theta} + \dot{\phi})^2$。

• 势能：

摆杆的重心高度为 $l \cos\theta$（假设摆杆质心距支点距离为 $l$），势能为：
$V = m_p g l \cos\theta$，其中 $m_p$ 为摆杆质量，$g$ 为重力加速度。

• 拉格朗日函数：

$L = T - V = \frac{1}{2} I_p \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} I_w (\dot{\theta} + \dot{\phi})^2 - m_p g l \cos\theta$。

3. 拉格朗日方程推导 对每个广义坐标 $\theta$ 和 $\phi$ 应用拉格朗日方程：

其中 $Q_i$ 为广义力。

对于摆杆角度 $\theta$： • 动量项：

对时间求导：

• 势能项：

• 方程：

对于惯性轮角度 $\phi$： • 动量项：

对时间求导：

• 势能项：

$\frac{\partial L}{\partial \phi} = 0$（无显式依赖）。 • 方程：

4. 广义力的确定 • 电机扭矩：假设电机施加扭矩 $\tau$ 驱动惯性轮相对于摆杆转动。根据虚功原理，虚位移 $\delta\theta$ 和 $\delta\phi$ 对应的虚功为：

因此，广义力为：

5. 最终运动方程 • 摆杆角度方程：

• 惯性轮角度方程：

结论 • 摆杆角度 $\theta$ 的方程右边：广义力 $Q_\theta = -\tau$。

• 惯性轮角度 $\phi$ 的方程右边：广义力 $Q_\phi = \tau$。

答案：
摆杆角度的方程右边为 $-\tau$，惯性轮角度的方程右边为 $\tau$。

为了将系统转换为状态方程，首先定义状态变量并解出加速度项：

1. 状态变量定义 设状态向量为：

输入为惯性轮的扭矩 $\tau$。

2. 联立求解加速度项 从之前的运动方程：

解得：

3. 状态方程推导 根据状态变量定义，写出各状态的导数为：

4. 非线性状态方程 系统状态方程表示为：

5. 线性化状态方程（平衡点 $\theta \approx 0$） 在平衡点附近线性化（$\sin\theta \approx \theta$），得到：

其中：

答案：
系统的非线性状态方程为：

当在平衡点 $\theta \approx 0$ 附近线性化时，状态方程简化为：

其中矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 如上所述。