为什么极点在左半平面（LHP）系统就会稳定？

在控制系统中，极点的位置决定了系统的动态响应和稳定性。具体原因如下：

1. 时域响应分析： • 对于连续时间系统，传递函数的极点 $p_i$ 对应的时域模态为 $e^{p_i t}$。

   • 若极点 $p_i$ 在左半平面（LHP）（即 $\text{Re}(p_i) < 0$），则 $e^{p_i t}$ 会指数衰减，系统最终趋于稳定。

   • 若极点 $p_i$ 在右半平面（RHP）（即 $\text{Re}(p_i) > 0$），则 $e^{p_i t}$ 会指数发散，系统不稳定。

   • 若极点在虚轴上（$\text{Re}(p_i) = 0$），则系统处于临界稳定（如持续振荡）。

2. 稳定性判据： • BIBO稳定性（有界输入有界输出）：所有极点必须在左半平面。

   • Lyapunov稳定性：对于线性系统，LHP极点等价于渐近稳定。