LQR控制原理与倒立摆系统实践指南

一、问题背景：惯性轮倒立摆控制 我们面对的是一个典型的欠驱动系统——惯性轮倒立摆（Inertia Wheel Pendulum）。系统通过控制惯性轮电机产生反扭矩来维持摆杆竖直平衡。系统参数如下：

二、控制理论基石：LQR基本原理

1. LQR控制的核心思想 线性二次型调节器（Linear Quadratic Regulator）通过最小化能量消耗的代价函数实现最优控制：

• Q矩阵：状态变量权重，决定收敛速度

• R矩阵：控制输入权重，限制能量消耗

• 最优控制律：$u = -K\mathbf{x}$

2. 设计步骤图解

A[系统建模] --> B[状态空间表示]
B --> C[可控性验证]
C --> D[权重矩阵选择]
D --> E[代数Riccati方程求解]
E --> F[获取反馈增益K]

三、系统建模与线性化

1. 非线性动力学方程 原始系统方程包含三角函数项：

2. 平衡点线性化 在$\theta \approx 0$处进行泰勒展开：

得到线性化状态方程：

四、LQR控制器设计实践

1. 可控性验证 通过计算可控性矩阵的秩：

matlab
Co = ctrb(A, B);
assert(rank(Co) == size(A,1), '系统不可控');

2. 权重矩阵选择原则 • Q矩阵对角元素对应状态变量权重：

matlab
Q = diag([θ权重, θ̇权重, φ权重, φ̇权重]);

• R矩阵影响控制力度：

matlab
R = 控制能量权重;

3. 参数调节经验公式

4. 典型调试过程

调试阶段	Q矩阵	R值	系统响应特征
初始阶段	diag([10,1,0,0])	1	收敛慢，振荡明显
优化阶段	diag([100,10,0,0])	0.1	响应速度提升30%
最终参数	diag([150,50,1,0.5])	0.008	稳定时间<1s

五、控制效果分析

1. 时域响应特性

2. 频域特性验证 通过Bode图分析系统稳定裕度：

matlab
sys = ss(A-B*K, B, C, D);
bode(sys);

3. 鲁棒性测试

扰动类型	最大偏移量	恢复时间
5°初始偏移	<0.1rad	0.8s
瞬时扭矩冲击	0.05rad	1.2s
参数漂移±20%	持续振荡	-

六、工程实现要点

1. 实际约束处理

python
# 电压限制实现
def saturate_voltage(Vm):
    return max(min(Vm, 12), -12)

2. 抗噪声措施 • 添加状态观测器

• 低通滤波器设计：

3. 实时性保障

模块	执行时间(μs)	备注
状态估计	12	Kalman滤波
LQR计算	8	矩阵乘法优化
PWM生成	2	硬件加速

七、进阶方向

1. 自适应LQR：在线调整Q,R矩阵
2. 鲁棒LQR：考虑模型不确定性
3. 非线性LQR：突破线性化限制

"LQR就像给系统配备了一个经验丰富的驾驶员，在能量消耗和响应速度之间找到最佳平衡。" —— 自动控制原理

通过本文的实践案例，我们完整展现了LQR控制从理论推导到工程实现的全过程。这种基于状态空间的优化控制方法，在机器人控制、航空航天等领域具有广泛应用前景。