计算随机取汉字的概率与期望次数

在一个包含2万个汉字的集合中，如果我们每次随机取一个汉字，想要取到全部汉字的概率是多少？又需要取多少次，才能期望取到所有汉字？这些问题可以借助概率论中的“优惠券收集问题（Coupon Collector's Problem）”来解答。

优惠券收集问题（Coupon Collector's Problem）

优惠券收集问题的经典表述是：假设有 $N$ 种不同的优惠券，每次随机抽取一种，问需要抽取多少次才能收集到所有不同的优惠券。它的期望次数可以表示为：

其中，$T$ 是收集到所有优惠券所需的抽取次数。

这个公式的和可以近似表示为：

其中，$\gamma$ 是欧拉-马歇罗尼常数，约等于 0.577。

计算2万个汉字的期望抽取次数

现在，假设我们有 $N = 20000$ 个汉字，将其代入上述公式，首先计算 $\ln(20000)$ 的近似值：

因此期望的抽取次数为：

这意味着，在期望情况下，你需要大约 209600 次随机抽取，才能取到全部的2万个汉字。

随机取到全部汉字的概率

随着每次抽取进行，取到新的汉字的概率会逐渐下降。假设第 $i$ 次抽取时已经有 $k$ 个不同的汉字被取到，那么再取到一个新的汉字的概率是：

这个概率随着取到不同汉字的数量增加而减少。由于该过程的复杂性，计算每次抽取后全部汉字都被取到的概率需要累积多个概率值，可以通过数值模拟进行解答。

Python模拟方案

我们可以使用Python进行蒙特卡洛模拟，估算取到全部汉字所需的随机抽取次数。下面是一个示例代码：

python
import random

def simulate_draws(num_chars):
    # 存储已经取到的汉字
    drawn_chars = set()
    draws = 0
    
    while len(drawn_chars) < num_chars:
        # 随机取一个汉字
        drawn_chars.add(random.randint(1, num_chars))
        draws += 1
        
    return draws

# 模拟多次实验，取平均值
def estimate_expected_draws(num_chars, simulations=1000):
    total_draws = 0
    for _ in range(simulations):
        total_draws += simulate_draws(num_chars)
    return total_draws / simulations

num_chars = 20000
simulations = 1000  # 运行1000次模拟
expected_draws = estimate_expected_draws(num_chars, simulations)
print(f"平均需要随机取 {expected_draws} 次才能取到全部汉字。")

这个代码将模拟多次随机抽取，并计算取到全部汉字所需的平均次数。结果大致会接近理论期望值 209600 次。

总结

1. 期望抽取次数：对于一个包含2万个汉字的集合，期望需要大约 209600 次抽取，才能取到全部的汉字。
2. 概率变化：随着每次抽取后，取到新汉字的概率逐步降低，可以通过公式 $P(\text{新汉字}) = \frac{N-k}{N}$ 来描述。
3. Python模拟：可以使用Python进行数值模拟，验证期望抽取次数与实际情况的接近程度。

通过数学推导与编程模拟，我们可以更好地理解随机抽取汉字时的期望次数以及概率的变化趋势。这种问题不仅在语言处理上有趣，也在概率论和算法设计中有着广泛的应用。