ADRC算法数学公式详解

线性ADRC通常更容易调整参数，但在大扰动下可能性能不如非线性ADRC。

1. 扩张状态观测器(ESO)

这组公式表示ESO的动态过程：

• $e = z_1 - y$：观测误差，即状态估计值与实际测量值的差
• $\dot{z}_1 = z_2 - \beta_1 e$：$z_1$的变化率，用于跟踪系统的位置状态(角度)
• $\dot{z}_2 = z_3 - \beta_2 e + b_0 u$：$z_2$的变化率，跟踪系统的速度状态(角速度)
• $\dot{z}_3 = -\beta_3 e$：$z_3$的变化率，用于估计系统中的"总扰动"

其中：

• $y$ 是系统输出（实测角度）
• $z_1, z_2, z_3$ 是观测器状态变量
• $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 是观测器增益参数
• $b_0$ 是控制输入增益
• $u$ 是控制输入

ESO的关键作用是在不知道具体扰动模型的情况下，通过观测系统的输入输出关系，实时估计系统状态和"总扰动"。

2. 跟踪微分器(TD)

TD的作用是生成光滑过渡过程：

• $\dot{v}_1 = v_2$：$v_1$的变化率等于$v_2$，其中$v_1$是跟踪信号
• $\dot{v}_2 = -r_0(v_1 - v_0) - c_0 v_2$：$v_2$的变化率由误差和阻尼项组成

其中：

• $v_0$ 是目标设定值（例如角度0）
• $v_1$ 是对$v_0$的平滑跟踪
• $v_2$ 是$v_1$的微分（速度）
• $r_0$ 控制跟踪速度
• $c_0$ 提供阻尼作用，防止振荡

TD避免了指令信号的突变给系统带来的冲击，实现了对设定点的平滑跟踪。

3. 线性状态误差反馈(LSEF)

LSEF计算控制信号：

• $e_1 = z_1 - v_1$：位置(角度)跟踪误差
• $e_2 = z_2 - v_2$：速度(角速度)跟踪误差
• $u_0 = -k_1 e_1 - k_2 e_2$：基于误差的线性反馈控制律
• $u = \frac{u_0 - z_3}{b_0}$：最终控制量，包含扰动补偿

其中：

• $k_1, k_2$ 是控制增益参数
• $z_3$ 是ESO估计的总扰动
• $b_0$ 是控制输入增益的估计值

LSEF的核心思想是：

1. 使用状态反馈稳定系统
2. 使用$z_3$补偿系统中的未知扰动和动态
3. 通过$\frac{1}{b_0}$进行控制量归一化

ADRC的关键在于"总扰动"概念，它将系统内外部的未知因素统一视为一个扰动，通过ESO实时观测并补偿，实现了控制系统的鲁棒性和自适应性。