Dong
自控，自平衡自行车 matlab ADRC 带电路+瑞利耗散摩擦损耗
编辑
2024-12-24
自动控制
00

目录

基本模型
推状态空间方程
1. 定义状态变量：
2. 求出加速度项
3. 状态方程推导
4. 状态方程（平衡点 $\theta \approx 0$）
5. 最终状态方程
如果是三个状态变量
推状态空间方程- 不考虑瑞利耗散
5. 最终状态方程
推状态空间方程- 不考虑瑞利耗散 + 扭矩简化为tao

image.png image.png

基本模型

电机模型：

Vm=iaRa+Ladiadt+EbV_m=i_aR_a+L_a\frac{di_a}{dt}+E_b

反电动势 (emf) EbE_{b} 与角速度 φ˙\dot{\varphi} 相关。

Eb=Kbφ˙E_{b}=K_{b}\dot{\varphi}

因为：La<<RaL_a<<R_a

所以： ia=Vm−Kbφ˙Rai_a=\frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a}

电机转矩 τ\tau 和反电动势 (emf) 有关：

τ=Ktia=KtVm−Kbφ˙Ra(公式4)\tau=K_t i_a=K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a} (公式4)
符号单位定义
θrad摆杆角度
φrad惯性轮角度
J₁kg.m²包括电机定子的摆杆转动惯量
J₂kg.m²包括电机转子的轮子转动惯量
c₁N.m.s/rad摆杆摩擦系数
c₂N.m.s/rad轮子摩擦系数
m₁kg摆杆和定子的质量
m₂kg轮子和转子的质量
l₁m从原点到摆杆重心的长度
l₂m从原点到轮子重心的长度
KbV/(rad/s)反电动势常数
KtN.m/A电机扭矩常数
RaΩ电枢绕组电阻
  • 平动动能 Translational kinetic:
T1=12m1(l1θ˙)2+12m2(l2θ˙)2(公式6)T_1=\frac{1}{2} m_1\left(l_1 \dot{\theta}\right)^2+\frac{1}{2} m_2\left(l_2 \dot{\theta}\right)^2 (公式6)
  • 转动动能 Rotational kinetic:
T2=12J1θ˙2+12J2(θ˙+φ˙)2(公式7)T_2=\frac{1}{2} J_1 \dot{\theta}^2+\frac{1}{2} J_2(\dot{\theta}+\dot{\varphi})^2(公式7)

系统的动能：

T=T1+T2=12(m1l12+m2l22+J1+J2)θ˙2+J2θ˙φ˙+12J2φ˙2(公式8)\begin{aligned} T & =T_1+T_2 \\ & =\frac{1}{2}\left(m_1 l_1^2+m_2 l_2^2+J_1+J_2\right) \dot{\theta}^2+J_2 \dot{\theta} \dot{\varphi}+\frac{1}{2} J_2 \dot{\varphi}^2 \end{aligned} (公式8)

以O点作为势能的基准。因此，势能为：

V=(m1l1+m2l2)gcos⁡(θ)(公式9)V=\left(m_1 l_1+m_2 l_2\right) g \cos (\theta)(公式9)

平面倒立摆的拉格朗日函数为：

L=T−V=12(m1l12+m2l22+J1+J2)θ˙2+J2θ˙φ˙+12J2φ˙2−(m1l1+m2l2)gcos⁡(θ)(公式10)\begin{aligned} L & =T-V=\frac{1}{2}\left(m_1 l_1^2+m_2 l_2^2+J_1+J_2\right) \dot{\theta}^2 \\ & +J_2 \dot{\theta} \dot{\varphi}+\frac{1}{2} J_2 \dot{\varphi}^2-\left(m_1 l_1+m_2 l_2\right) g \cos (\theta) \end{aligned}(公式10)

瑞利耗散函数（Rayleigh Dissipation Function）​​ 是分析力学中用于描述系统能量耗散（如摩擦力、空气阻力等非保守力）的数学工具。它通过广义速度的二次函数形式，将耗散力引入拉格朗日方程，从而简化含阻尼系统的动力学建模。

耗散能量：

R=12c1θ˙2+12c2φ˙2(公式11)R=\frac{1}{2} c_1 \dot{\theta}^2+\frac{1}{2} c_2 \dot{\varphi}^2(公式11)

从拉格朗日方程得到的关于 θ 的旋转轴上的力矩为，这个公式是最后一个公式需要用的：

ddt(∂L∂θ˙)+∂R∂θ˙−∂L∂θ=0(公式12)⇔(m1l12+m2l22+J1+J2)θ¨+J2φ¨+c1θ˙−(m1l1+m2l2)gsin⁡(θ)=0(公式13)\begin{gathered} \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\right)+\frac{\partial R}{\partial \dot{\theta}}-\frac{\partial L}{\partial \theta}=0 (公式12)\\ \Leftrightarrow\left(m_1 l_1^2+m_2 l_2^2+J_1+J_2\right) \ddot{\theta}+J_2 \ddot{\varphi}+c_1 \dot{\theta} -\left(m_1 l_1+m_2 l_2\right) g \sin (\theta)=0 (公式13)\end{gathered}

从拉格朗日方程得到的关于 φ 的旋转轴上的力矩为：

ddt(∂L∂φ˙)+∂R∂φ˙−∂L∂φ=τ(公式14)⇔J2(θ¨+φ¨)+c2φ˙=τ(公式15)\begin{aligned} & \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}\right)+\frac{\partial R}{\partial \dot{\varphi}}-\frac{\partial L}{\partial \varphi}=\tau (公式14)\\ & \Leftrightarrow J_2(\ddot{\theta}+\ddot{\varphi})+c_2 \dot{\varphi}=\tau (公式15)\end{aligned}

τ\tau 是电机的扭矩。

因为：

τ=Ktia=KtVm−Kbφ˙Ra(公式4)\tau=K_t i_a=K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a}(公式4)

由公式4和公式15可以得到：

J2(θ¨+φ¨)+c2φ˙=KtVm−Kbφ˙Ra(公式16)J_2(\ddot{\theta}+\ddot{\varphi})+c_2 \dot{\varphi}=K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a}(公式16)

由公式13和公式16进行推理：

(m1l12+m2l22+J1+J2)θ¨+J2φ¨+c1θ˙−(m1l1+m2l2)gsin⁡(θ)=0\left(m_1 l_1^2+m_2 l_2^2+J_1+J_2\right) \ddot{\theta}+J_2 \ddot{\varphi}+c_1 \dot{\theta} -\left(m_1 l_1+m_2 l_2\right) g \sin (\theta)=0

线性化：

(m1l12+m2l22+J1+J2)θ¨+J2φ¨+c1θ˙−(m1l1+m2l2)gθ=0\left(m_1 l_1^2+m_2 l_2^2+J_1+J_2\right) \ddot{\theta}+J_2 \ddot{\varphi}+c_1 \dot{\theta} -\left(m_1 l_1+m_2 l_2\right) g \theta =0

之前有这个式子：

J2(θ¨+φ¨)+c2φ˙=KtVm−Kbφ˙RaJ_2(\ddot{\theta}+\ddot{\varphi})+c_2 \dot{\varphi}=K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a}

首先，我们将两个方程写出来：

(m1l12+m2l22+J1+J2)θ¨+J2φ¨+c1θ˙−(m1l1+m2l2)gθ=0\left(m_1 l_1^2+m_2 l_2^2+J_1+J_2\right) \ddot{\theta} + J_2 \ddot{\varphi} + c_1 \dot{\theta} - \left(m_1 l_1+m_2 l_2\right) g \theta = 0
J2(θ¨+φ¨)+c2φ˙=KtVm−Kbφ˙RaJ_2(\ddot{\theta}+\ddot{\varphi}) + c_2 \dot{\varphi} = K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a}

从第二个方程中，我们可以解出 φ¨\ddot{\varphi}：

J2θ¨+J2φ¨+c2φ˙=KtVm−Kbφ˙RaJ_2 \ddot{\theta} + J_2 \ddot{\varphi} + c_2 \dot{\varphi} = K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a}
J2φ¨=KtVm−Kbφ˙Ra−J2θ¨−c2φ˙J_2 \ddot{\varphi} = K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a} - J_2 \ddot{\theta} - c_2 \dot{\varphi}
φ¨=KtVm−Kbφ˙Ra−J2θ¨−c2φ˙J2\ddot{\varphi} = \frac{K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a} - J_2 \ddot{\theta} - c_2 \dot{\varphi}}{J_2}

将 φ¨\ddot{\varphi} 代入第一个方程：

(m1l12+m2l22+J1+J2)θ¨+J2(KtVm−Kbφ˙Ra−J2θ¨−c2φ˙J2)+c1θ˙−(m1l1+m2l2)gθ=0\left(m_1 l_1^2+m_2 l_2^2+J_1+J_2\right) \ddot{\theta} + J_2 \left(\frac{K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a} - J_2 \ddot{\theta} - c_2 \dot{\varphi}}{J_2}\right) + c_1 \dot{\theta} - \left(m_1 l_1+m_2 l_2\right) g \theta = 0

化简后：

(m1l12+m2l22+J1+J2)θ¨+KtVm−Kbφ˙Ra−J2θ¨−c2φ˙+c1θ˙−(m1l1+m2l2)gθ=0\left(m_1 l_1^2+m_2 l_2^2+J_1+J_2\right) \ddot{\theta} + K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a} - J_2 \ddot{\theta} - c_2 \dot{\varphi} + c_1 \dot{\theta} - \left(m_1 l_1+m_2 l_2\right) g \theta = 0

合并同类项：

(m1l12+m2l22+J1)θ¨+c1θ˙−c2φ˙−(m1l1+m2l2)gθ=−KtVm−Kbφ˙Ra(m_1 l_1^2+m_2 l_2^2+J_1) \ddot{\theta} + c_1 \dot{\theta} - c_2 \dot{\varphi} - \left(m_1 l_1+m_2 l_2\right) g \theta = - K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a}

解出 θ¨\ddot{\theta}：

θ¨=−KtVm−Kbφ˙Ra−c1θ˙+c2φ˙+(m1l1+m2l2)gθm1l12+m2l22+J1\ddot{\theta} = \frac{- K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a} - c_1 \dot{\theta} + c_2 \dot{\varphi} + \left(m_1 l_1+m_2 l_2\right) g \theta}{m_1 l_1^2+m_2 l_2^2+J_1}

然后将 θ¨\ddot{\theta} 代入 φ¨\ddot{\varphi} 的表达式中，得到 φ¨\ddot{\varphi}：

φ¨=KtVm−Kbφ˙Ra−J2(−KtVm−Kbφ˙Ra−c1θ˙+c2φ˙+(m1l1+m2l2)gθm1l12+m2l22+J1)−c2φ˙J2\ddot{\varphi} = \frac{K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a} - J_2 \left(\frac{- K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a} - c_1 \dot{\theta} + c_2 \dot{\varphi} + \left(m_1 l_1+m_2 l_2\right) g \theta}{m_1 l_1^2+m_2 l_2^2+J_1}\right) - c_2 \dot{\varphi}}{J_2}

简化一下就是：

θ¨=−KtVm−Kbφ˙Ra−c1θ˙+(m1l1+m2l2)gθ+c2φ˙m1l12+m2l22+J1φ¨=KtVm−Kbφ˙Ra(m1l12+m2l22+J1+J2)−c2φ˙(m1l12+m2l22+J1+J2)+J2c1θ˙−J2(m1l1+m2l2)gθJ2(m1l12+m2l22+J1)\boxed{ \begin{aligned} \ddot{\theta} &= \frac{ - K_t \frac{V_m - K_b \dot{\varphi}}{R_a} - c_1 \dot{\theta} + (m_1 l_1 + m_2 l_2)g \theta + c_2 \dot{\varphi} }{ m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 } \\ \ddot{\varphi} &= \frac{ K_t \frac{V_m - K_b \dot{\varphi}}{R_a} (m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 + J_2 ) - c_2 \dot{\varphi} (m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 + J_2 ) + J_2 c_1 \dot{\theta} - J_2 (m_1 l_1 + m_2 l_2 ) g \theta }{ J_2 (m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 ) } \end{aligned} }

这样，我们就得到了 θ¨\ddot{\theta} 和 φ¨\ddot{\varphi} 的表达式。

  • 电压输入 VmV_{\mathrm{m}} 是控制变量
  • 四个状态变量分别是 θ,θ˙,φ\theta, \dot{\theta}, \varphi 和 φ˙\dot{\varphi}
  • 输出扭矩 τ\tau 根据方程 (4) 计算

推状态空间方程

开始推状态空间方程。注意，都是遵循了：在平衡点附近线性化（sin⁡θ≈θ\sin\theta \approx \theta）。

1. 定义状态变量：

x=[x1x2x3x4]=[θθ˙φφ˙]\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \theta \\ \dot{\theta} \\ \varphi \\ \dot{\varphi} \end{bmatrix}

2. 求出加速度项

有刚才的这两个公式：

θ¨=−KtVm−Kbφ˙Ra−c1θ˙+(m1l1+m2l2)gθ+c2φ˙m1l12+m2l22+J1φ¨=KtVm−Kbφ˙Ra(m1l12+m2l22+J1+J2)−c2φ˙(m1l12+m2l22+J1+J2)+J2c1θ˙−J2(m1l1+m2l2)gθJ2(m1l12+m2l22+J1)\boxed{ \begin{aligned} \ddot{\theta} &= \frac{ - K_t \frac{V_m - K_b \dot{\varphi}}{R_a} - c_1 \dot{\theta} + (m_1 l_1 + m_2 l_2)g \theta + c_2 \dot{\varphi} }{ m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 } \\ \ddot{\varphi} &= \frac{ K_t \frac{V_m - K_b \dot{\varphi}}{R_a} (m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 + J_2 ) - c_2 \dot{\varphi} (m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 + J_2 ) + J_2 c_1 \dot{\theta} - J_2 (m_1 l_1 + m_2 l_2 ) g \theta }{ J_2 (m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 ) } \end{aligned} }

3. 状态方程推导

根据状态变量定义，写出各状态的导数为：

x˙1=x2x˙2=−KtVm−Kbx4Ra−c1x2+(m1l1+m2l2)gx1+c2x4m1l12+m2l22+J1x˙3=x4x˙4=KtVm−Kbx4Ra(Ip+J2)−c2x4(Ip+J2)+J2c1x2−J2(m1l1+m2l2)gx1J2Ip\begin{aligned} \dot{x}_1 &= x_2 \\ \dot{x}_2 &= \frac{ - K_t \frac{V_m - K_b x_4}{R_a} - c_1 x_2 + (m_1 l_1 + m_2 l_2)g x_1 + c_2 x_4 }{ m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 } \\ \dot{x}_3 &= x_4 \\ \dot{x}_4 &= \frac{ K_t \frac{V_m - K_b x_4}{R_a} (I_p + J_2) - c_2 x_4 (I_p + J_2) + J_2 c_1 x_2 - J_2 (m_1 l_1 + m_2 l_2)g x_1 }{ J_2 I_p } \end{aligned}

总转动惯量： Ip=m1l12+m2l22+J1I_p = m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1

4. 状态方程（平衡点 θ≈0\theta \approx 0）

在平衡点附近线性化（sin⁡θ≈θ\sin\theta \approx \theta），得到​​状态方程​​（描述系统动态）：

x˙=Ax+BVm\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}V_m

得到：

A=[0100(m1l1+m2l2)gIp−c1Ip0c2+KtKbRaIp0001−(m1l1+m2l2)gIpc1Ip0−KtKbIp+J2Ra−c2(Ip+J2)J2Ip],B=[0−KtRaIp0Kt(Ip+J2)RaJ2Ip]\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{(m_1 l_1 + m_2 l_2)g}{I_p} & -\frac{c_1}{I_p} & 0 & \frac{c_2 + \frac{K_t K_b}{R_a}}{I_p} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -\frac{(m_1 l_1 + m_2 l_2)g}{I_p} & \frac{c_1}{I_p} & 0 & \frac{ -K_t K_b \frac{I_p + J_2}{R_a} - c_2(I_p + J_2) }{J_2 I_p} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 0 \\ -\frac{K_t}{R_a I_p} \\ 0 \\ \frac{K_t (I_p + J_2)}{R_a J_2 I_p} \end{bmatrix}
  • 矩阵 A\mathbf{A}：描述了系统的状态变化与当前状态的关系。
  • 矩阵 B\mathbf{B}：描述了系统的输入（如电压 VmV_m）对状态变化的影响。

5. 最终状态方程

最终状态空间方程

x˙=Ax+BVm,y=Cx+DVm\begin{aligned} \dot{\mathbf{x}} &= \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}V_m, \\ y &= \mathbf{C}\mathbf{x} + \mathbf{D}V_m \end{aligned}

其中：

C=[1000],D=0\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{D} = 0
符号单位定义
θrad摆杆角度
φrad惯性轮角度
J₁kg.m²包括电机定子的摆杆转动惯量
J₂kg.m²包括电机转子的轮子转动惯量
c₁N.m.s/rad摆杆摩擦系数
c₂N.m.s/rad轮子摩擦系数
m₁kg摆杆和定子的质量
m₂kg轮子和转子的质量
l₁m从原点到摆杆重心的长度
l₂m从原点到轮子重心的长度
KbV/(rad/s)反电动势常数
KtN.m/A电机扭矩常数
RaΩ电枢绕组电阻

给IWP的参数：

SymbolValueSymbolValue
J₁0.01186 (kg·m²)l₁0.1053 (m)
J₂0.0005711 (kg·m²)l₂0.14 (m)
c₁0.04 (N·m·s/rad)K_b0.0987 (V/(rad/s))
c₂0.0001 (N·m·s/rad)K_t0.0987 (N·m/A)
m₁0.826 (kg)R_a1.5562 (Ω)
m₂0.583 (kg)

如果是三个状态变量

根据要求，将状态变量重新定义为 x=[θ,θ˙,φ˙]⊤\mathbf{x} = [\theta, \dot{\theta}, \dot{\varphi}]^\top，推导得到以下状态空间方程：

x˙=Ax+BVm\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}V_m

其中，系统矩阵 A\mathbf{A} 和输入矩阵 B\mathbf{B} 分别为：

A=[010(m1l1+m2l2)gIp−c1IpKtKb/Ra+c2Ip−(m1l1+m2l2)gIpc1Ip−KtKbIp+J2Ra−c2(Ip+J2)J2Ip],B=[0−KtRaIpKt(Ip+J2)RaJ2Ip]\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ \frac{(m_1 l_1 + m_2 l_2)g}{I_p} & -\frac{c_1}{I_p} & \frac{ K_t K_b / R_a + c_2}{I_p} \\ -\frac{(m_1 l_1 + m_2 l_2)g}{I_p} & \frac{c_1}{I_p} & \frac{ -K_t K_b \frac{I_p + J_2}{R_a} - c_2(I_p + J_2) }{J_2 I_p} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 0 \\ -\frac{K_t}{R_a I_p} \\ \frac{K_t (I_p + J_2)}{R_a J_2 I_p} \end{bmatrix}

输出方程（假设测量 θ\theta）：

y=Cx,C=[100]y = \mathbf{C}\mathbf{x}, \quad \mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}

总转动惯量： Ip=m1l12+m2l22+J1I_p = m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1

符号单位定义
θrad摆杆角度
φrad惯性轮角度
J₁kg.m²包括电机定子的摆杆转动惯量
J₂kg.m²包括电机转子的轮子转动惯量
c₁N.m.s/rad摆杆摩擦系数
c₂N.m.s/rad轮子摩擦系数
m₁kg摆杆和定子的质量
m₂kg轮子和转子的质量
l₁m从原点到摆杆重心的长度
l₂m从原点到轮子重心的长度
KbV/(rad/s)反电动势常数
KtN.m/A电机扭矩常数
RaΩ电枢绕组电阻

给IWP的参数：

SymbolValueSymbolValue
J₁0.01186 (kg·m²)l₁0.1053 (m)
J₂0.0005711 (kg·m²)l₂0.14 (m)
c₁0.04 (N·m·s/rad)K_b0.0987 (V/(rad/s))
c₂0.0001 (N·m·s/rad)K_t0.0987 (N·m/A)
m₁0.826 (kg)R_a1.5562 (Ω)
m₂0.583 (kg)

推状态空间方程- 不考虑瑞利耗散

θ¨=−KtVm−Kbφ˙Ra+(m1l1+m2l2)gθm1l12+m2l22+J1φ¨=KtVm−Kbφ˙Ra(m1l12+m2l22+J1+J2)−J2(m1l1+m2l2)gθJ2(m1l12+m2l22+J1)\boxed{ \begin{aligned} \ddot{\theta} &= \frac{ - K_t \frac{V_m - K_b \dot{\varphi}}{R_a} + (m_1 l_1 + m_2 l_2)g \theta }{ m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 } \\ \ddot{\varphi} &= \frac{ K_t \frac{V_m - K_b \dot{\varphi}}{R_a} (m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 + J_2 ) - J_2 (m_1 l_1 + m_2 l_2 ) g \theta }{ J_2 (m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 ) } \end{aligned} }

状态方程（平衡点 θ≈0\theta \approx 0）

在平衡点附近线性化（sin⁡θ≈θ\sin\theta \approx \theta），得到​​状态方程​​（描述系统动态）：

x˙=Ax+BVm\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}V_m

得到：

A=[0100(m1l1+m2l2)gIp00KtKbRaIp0001−(m1l1+m2l2)gIp00−KtKbIp+J2RaJ2Ip],B=[0−KtRaIp0Kt(Ip+J2)RaJ2Ip]\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{(m_1 l_1 + m_2 l_2)g}{I_p} & 0 & 0 & \frac{ \frac{K_t K_b}{R_a}}{I_p} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -\frac{(m_1 l_1 + m_2 l_2)g}{I_p} & 0 & 0 & \frac{ -K_t K_b \frac{I_p + J_2}{R_a}}{J_2 I_p} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 0 \\ -\frac{K_t}{R_a I_p} \\ 0 \\ \frac{K_t (I_p + J_2)}{R_a J_2 I_p} \end{bmatrix}

总转动惯量： Ip=m1l12+m2l22+J1I_p = m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1

5. 最终状态方程

最终状态空间方程

x˙=Ax+BVm,y=Cx+DVm\begin{aligned} \dot{\mathbf{x}} &= \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}V_m, \\ y &= \mathbf{C}\mathbf{x} + \mathbf{D}V_m \end{aligned}

其中：

C=[1000],D=0\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{D} = 0
符号单位定义
θrad摆杆角度
φrad惯性轮角度
J₁kg.m²包括电机定子的摆杆转动惯量
J₂kg.m²包括电机转子的轮子转动惯量
c₁N.m.s/rad摆杆摩擦系数
c₂N.m.s/rad轮子摩擦系数
m₁kg摆杆和定子的质量
m₂kg轮子和转子的质量
l₁m从原点到摆杆重心的长度
l₂m从原点到轮子重心的长度
KbV/(rad/s)反电动势常数
KtN.m/A电机扭矩常数
RaΩ电枢绕组电阻

给IWP的参数：

SymbolValueSymbolValue
J₁0.01186 (kg·m²)l₁0.1053 (m)
J₂0.0005711 (kg·m²)l₂0.14 (m)
c₁0.04 (N·m·s/rad)K_b0.0987 (V/(rad/s))
c₂0.0001 (N·m·s/rad)K_t0.0987 (N·m/A)
m₁0.826 (kg)R_a1.5562 (Ω)
m₂0.583 (kg)

推状态空间方程- 不考虑瑞利耗散 + 扭矩简化为tao

因为：

τ=Ktia=KtVm−Kbφ˙Ra(公式4)\tau=K_t i_a=K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a}(公式4)

所以：

θ¨=−τ+(m1l1+m2l2)gθm1l12+m2l22+J1φ¨=τ(m1l12+m2l22+J1+J2)−J2(m1l1+m2l2)gθJ2(m1l12+m2l22+J1)\boxed{ \begin{aligned} \ddot{\theta} &= \frac{ - \tau + (m_1 l_1 + m_2 l_2)g \theta }{ m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 } \\ \ddot{\varphi} &= \frac{ \tau (m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 + J_2 ) - J_2 (m_1 l_1 + m_2 l_2 ) g \theta }{ J_2 (m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 ) } \end{aligned} }

状态方程（平衡点 θ≈0\theta \approx 0）

在平衡点附近线性化（sin⁡θ≈θ\sin\theta \approx \theta），得到​​状态方程​​（描述系统动态）：

x˙=Ax+Bτ\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}\tau

得到：

A=[0100(m1l1+m2l2)gIp0000001−(m1l1+m2l2)gIp000],B=[0−1Ip0Ip+J2J2Ip]\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{(m_1 l_1 + m_2 l_2)g}{I_p} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -\frac{(m_1 l_1 + m_2 l_2)g}{I_p} & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 0 \\ -\frac{1}{I_p} \\ 0 \\ \frac{I_p + J_2}{ J_2 I_p} \end{bmatrix}

总转动惯量： Ip=m1l12+m2l22+J1I_p = m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1

其中：

C=[1000],D=0\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{D} = 0
符号单位定义
θrad摆杆角度
φrad惯性轮角度
J₁kg.m²包括电机定子的摆杆转动惯量
J₂kg.m²包括电机转子的轮子转动惯量
c₁N.m.s/rad摆杆摩擦系数
c₂N.m.s/rad轮子摩擦系数
m₁kg摆杆和定子的质量
m₂kg轮子和转子的质量
l₁m从原点到摆杆重心的长度
l₂m从原点到轮子重心的长度
KbV/(rad/s)反电动势常数
KtN.m/A电机扭矩常数
RaΩ电枢绕组电阻

给IWP的参数：

SymbolValueSymbolValue
J₁0.01186 (kg·m²)l₁0.1053 (m)
J₂0.0005711 (kg·m²)l₂0.14 (m)
c₁0.04 (N·m·s/rad)K_b0.0987 (V/(rad/s))
c₂0.0001 (N·m·s/rad)K_t0.0987 (N·m/A)
m₁0.826 (kg)R_a1.5562 (Ω)
m₂0.583 (kg)
如果对你有用的话，可以打赏哦
打赏
ali pay
wechat pay

本文作者:Dong

本文链接:

版权声明:本博客所有文章除特别声明外，均采用 CC BY-NC。本作品采用《知识共享署名-非商业性使用 4.0 国际许可协议》进行许可。您可以在非商业用途下自由转载和修改，但必须注明出处并提供原作者链接。 许可协议。转载请注明出处！