弹簧器与阻尼器

并联和串联

并联结构的系统方程包含质量、阻尼、刚度项，适用于描述自由振动和强阻尼系统，振动衰减较快。

串联结构的系统方程主要依赖位移和速度，通常用于柔性或低频振动系统，振动衰减较慢。

题目1

解答：

我们需要求解机械系统的传递函数 $G(s) = \dfrac{X_o(s)}{X_i(s)}$。为此，按照以下步骤进行分析。

1. 引入辅助点并建立力平衡方程

在阻尼器 $f_1$ 和弹簧 $K_1$ 之间引入一个辅助点，设其位移为 $x$，方向向下。系统的结构如下：

• 点 1：位移为 $x_i$
• 阻尼器 $f_2$ 和弹簧 $K_2$ 并联，连接点 1 和点 2
• 点 2：位移为 $x_o$
• 阻尼器 $f_1$，连接点 2 和辅助点
• 弹簧 $K_1$，连接辅助点和地面

2. 建立力平衡方程

对于点 2，根据力平衡，可得：

1. 从点 1 到点 2 的力：

   • 弹簧 $K_2$ 的力：$K_2(x_i - x_o)$
   • 阻尼器 $f_2$ 的力：$f_2 \dot{(x_i - x_o)}$

2. 从点 2 到辅助点的力：

   • 阻尼器 $f_1$ 的力：$f_1 \dot{(x_o - x)}$

因此，点 2 的力平衡方程为：

对于辅助点，根据力平衡，可得：

• 弹簧 $K_1$ 的力：$K_1 x$
• 阻尼器 $f_1$ 的力：$f_1 \dot{(x_o - x)}$

由于弹簧 $K_1$ 和阻尼器 $f_1$ 连接在一起，力相等，因此有：

3. 对方程进行拉普拉斯变换

假设初始条件为零，对上述两个方程进行拉普拉斯变换：

1. 对第一个方程：

2. 对第二个方程：

4. 解出 $X(s)$ 与 $X_o(s)$ 的关系

从第二个方程解出 $X(s)$：

5. 消除 $X(s)$，建立 $X_i(s)$ 和 $X_o(s)$ 的关系

将 $X(s)$ 代入第一个方程：

简化右侧：

因此，方程变为：

整理得：

6. 求解传递函数 $G(s)$

传递函数为：

7. 化简传递函数

首先，将分母中的分式合并：

将分子也乘以 $K_1 + f_1 s$：

因此，传递函数变为：

8. 展开并整理

展开分子：

展开分母：

9. 写成标准形式

将分子和分母写成关于 $s$ 的多项式：

10. 归一化处理

为了进一步简化，我们将分子和分母同时除以 $K_1 K_2$：

11. 最终的传递函数

得到机械系统的传递函数：

总结

通过引入辅助点并建立力平衡方程，利用拉普拉斯变换，将位移 $X(s)$ 表示为 $X_o(s)$ 的函数，进而消除 $X(s)$，建立了 $X_i(s)$ 和 $X_o(s)$ 之间的关系。经过代数化简，得到了机械系统的传递函数 $G(s)$。

题目1的问题

解答：

您的问题主要是关于如何确定力的方向，以及为什么力的表达式是那样的。让我一步步解释。

1. 力的方向如何确定？

在机械系统中，力的方向取决于元件的特性和位移（或速度）的方向。一般来说：

• 弹簧力：弹簧力的方向总是试图恢复弹簧的原始长度，即阻止弹簧被拉伸或压缩。它的大小为 $F = K \Delta x$，方向与位移的增量 $\Delta x$ 相反。

• 阻尼器力：阻尼器的力与两端相对速度成正比，大小为 $F = f \Delta \dot{x}$，方向与相对速度 $\Delta \dot{x}$ 相反。

2. 为什么弹簧 $K_2$ 的力是 $K_2(x_i - x_o)$？

• 位移定义：设定向下为正方向。$x_i$ 是点 1 的位移，$x_o$ 是点 2 的位移。

• 弹簧的伸缩量：弹簧 $K_2$ 的伸缩量为 $\Delta x = x_o - x_i$。因为一端在点 1（位移 $x_i$），另一端在点 2（位移 $x_o$）。

• 弹簧力的计算：弹簧力为 $F = K_2 \Delta x = K_2(x_o - x_i)$。但是，由于力的方向与伸缩量相反，所以作用在点 2 上的弹簧力为：

这里，负号表示力的方向与 $x_o - x_i$ 相反。

3. 为什么阻尼器 $f_2$ 的力是 $f_2 \dot{(x_i - x_o)}$？

• 相对速度：阻尼器 $f_2$ 的两端位移为 $x_i$ 和 $x_o$，因此相对速度为 $\Delta \dot{x} = \dot{x}_o - \dot{x}_i$。

• 阻尼力的计算：阻尼力为 $F = f_2 \Delta \dot{x} = f_2(\dot{x}_o - \dot{x}_i)$。同样，力的方向与相对速度相反，所以作用在点 2 上的阻尼力为：

4. 为什么点 2 可以进行力平衡？

在力学中，如果我们考虑的是质量为零或忽略不计的节点（即点 2 没有质量或惯性），那么在该点上的所有力的和应该为零（静力平衡），或者等于质量乘以加速度（动力平衡）。在这个问题中，我们假设点 2 的质量可以忽略，因此可以进行力平衡。

5. 点 2 的力平衡方程如何建立？

作用在点 2 上的力：

• 来自弹簧 $K_2$ 的力：$F_{K_2} = K_2(x_i - x_o)$

• 来自阻尼器 $f_2$ 的力：$F_{f_2} = f_2(\dot{x}_i - \dot{x}_o)$

• 来自阻尼器 $f_1$ 的力：阻尼器 $f_1$ 连接点 2 和辅助点（位移为 $x$），相对速度为 $\dot{x}_o - \dot{x}$。阻尼器的力为：

力的方向是与相对速度相反，但在这里，我们将力视为作用在点 2 上的力，所以直接使用这个表达式。

力平衡方程：

在点 2 上，所有作用在其上的力的代数和应为零：

这里，$F_{f_1}$ 是作用在点 2 上，由于阻尼器 $f_1$ 连接点 2 和辅助点，力的方向与相对速度一致（因为阻尼力总是阻碍相对运动）。

因此，力平衡方程为：

6. 为什么力的方向如此选择？

• 弹簧力：如果 $x_o > x_i$，即点 2 向下移动多于点 1，弹簧被拉伸，弹簧力试图将点 2 拉回，作用在点 2 上的力向上，为负方向，因此 $F_{K_2} = K_2(x_i - x_o)$。

• 阻尼力：同理，若 $\dot{x}_o > \dot{x}_i$，即点 2 的速度大于点 1，阻尼器力试图阻碍这种相对运动，作用在点 2 上的力为向上，即 $F_{f_2} = f_2(\dot{x}_i - \dot{x}_o)$。

• 阻尼器 $f_1$ 的力：阻尼器连接点 2 和辅助点，若 $\dot{x}_o > \dot{x}$，阻尼器力试图阻碍点 2 相对于辅助点的向下运动，作用在点 2 上的力为向上，所以力为 $F_{f_1} = f_1(\dot{x}_o - \dot{x})$。

7. 总结

因此，作用在点 2 上的力平衡方程就是将所有作用在点 2 上的力求和，并设其代数和为零：

也就是说：

8. 关于辅助点的力平衡

对于辅助点（位移为 $x$），同样进行力平衡：

• 来自阻尼器 $f_1$ 的力：$F_{f_1} = f_1(\dot{x}_o - \dot{x})$，作用在辅助点上的力方向与相对速度相反。

• 来自弹簧 $K_1$ 的力：$F_{K_1} = K_1 x$，弹簧连接辅助点和地面，假设地面位移为零。

力平衡方程为：

9. 总体理解

• 点 2 的力平衡：考虑所有连接到点 2 的元件（弹簧 $K_2$、阻尼器 $f_2$、阻尼器 $f_1$）产生的力。

• 力的方向：根据元件的特性（弹簧力与位移差成正比，方向相反；阻尼力与速度差成正比，方向相反），确定作用在点 2 上的力。

• 力平衡方程：将作用在点 2 上的所有力相加，设代数和为零，得到力平衡方程。

10. 进一步说明

• 为何不用考虑惯性力？ 在这个问题中，我们假设系统是准静态的，或者点 2 的质量可以忽略，所以不考虑惯性力。如果点 2 有质量，我们需要考虑 $m \ddot{x}_o$ 的影响。

• 为何不考虑其他力？ 因为系统中只存在弹簧和阻尼器，且假设没有外力直接作用在点 2 上，所以只需要考虑这些元件产生的力。

11. 最后的力平衡方程

综上所述，点 2 的力平衡方程为：

这个方程表达了作用在点 2 上的所有力的平衡关系。

希望这能帮助您理解力的方向和力平衡方程的建立。