Matlab

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% 习题3 A是一个五对角矩阵，R nxn，n=10,20,40时，使用J迭代法和SOR
% 迭代法（w=1,1.2,1.4,1.6,1.8）解方程组Ax=0，分析收敛速度。
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clear
for mat_n=[10,20,40]                                           %循环3次，n=10,20,40
    % --------------------------------------------------------------------------------------------
    % 打印当前矩阵大小
    % --------------------------------------------------------------------------------------------
    disp("---------------------------------------------------------");
    fprintf(" 当前矩阵大小为 %d*%d\r\n",mat_n,mat_n);
    % --------------------------------------------------------------------------------------------
    % 构建矩阵A
    % --------------------------------------------------------------------------------------------
    a1(1,1:mat_n)=20;
    A1=diag(a1,0);
    a2(1,1:mat_n-1)=-8;
    A2_1=diag(a2,1);
    A2_2=diag(a2,-1);
    a3(1,1:mat_n-2)=1;
    A3_1=diag(a3,2);
    A3_2=diag(a3,-2);
    A=A1+A2_1+A2_2+A3_1+A3_2;
    % --------------------------------------------------------------------------------------------
    % 构建初始迭代值
    % --------------------------------------------------------------------------------------------
    x0(1:mat_n,1)=1;
    % --------------------------------------------------------------------------------------------
    % jacobi迭代法       %Ax=0精确解是x=0
    % --------------------------------------------------------------------------------------------
    D = diag(diag(A));                                            %求A的对角矩阵
    L = -tril(A,-1);                                                   %求A的下三角矩阵
    U = -triu(A,1);                                                  %求A的上三角矩阵
    B = D\(L+U);                                                    %由jacobi迭代法公式得来
    RB1=-log(vrho(B));                                          %计算渐近收敛速度
    fprintf(" jacobi 渐近收敛速度是 %.4f\r\n",RB1);
    x = B*x0;                                                         %迭代计算
    n = 1;                                                              %迭代次数赋值
    while norm(x,inf)>10^(-6)
        x0=x;                                                           %迭代赋值
        x = B*x0;                                                     %迭代计算
        n = n+1;                                                      %累加次数
        if n>1000                                                     %迭代次数大于1000跳出
            break;
        end
    end
    fprintf(" jacobi迭代完毕 满足要求所需最少迭代次数为 n=%d\r\n",n);
    % --------------------------------------------------------------------------------------------
    % SOR迭代 w是omega       %Ax=0精确解是x=0
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    for w=[1,1.2,1.4,1.6,1.8]
        x0(1:mat_n,1)=1;                                         %构建初始迭代值
        B_sor=(D-L*w)\((1-w)*D+w*U);                     %与jacobi一样的DLU矩阵
        x_sor = B_sor*x0;                                        %迭代计算
        RB1=-log(vrho(B_sor));                                %计算渐近收敛速度
        fprintf("SOR渐近收敛速度是 %.4f\r\n",RB1);
        n_sor = 1;                                                    %迭代次数
        while norm(x_sor,inf)>10^(-6)
            x0=x_sor;                                                 %迭代赋值
            x_sor = B_sor*x0;                                     %迭代计算
            n_sor = n_sor+1;                                      %累加次数
            if n_sor>1000                                           %迭代次数大于1000跳出
                break;
            end
        end
        fprintf("SOR迭代 w=%.2f",w);
        fprintf(" 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=%d\r\n",n_sor);
    end
    clear
end

结果

>> Untitled
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 当前矩阵大小为 10*10
 jacobi 渐近收敛速度是 0.1587
 jacobi迭代完毕 满足要求所需最少迭代次数为 n=38
SOR渐近收敛速度是 0.8050
SOR迭代 w=1.00 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=21
SOR渐近收敛速度是 1.3127
SOR迭代 w=1.20 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=15
SOR渐近收敛速度是 0.8036
SOR迭代 w=1.40 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=20
SOR渐近收敛速度是 0.4555
SOR迭代 w=1.60 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=30
SOR渐近收敛速度是 0.2001
SOR迭代 w=1.80 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=61
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 当前矩阵大小为 20*20
 jacobi 渐近收敛速度是 0.1201
 jacobi迭代完毕 满足要求所需最少迭代次数为 n=60
SOR渐近收敛速度是 0.7713
SOR迭代 w=1.00 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=23
SOR渐近收敛速度是 1.2660
SOR迭代 w=1.20 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=18
SOR渐近收敛速度是 0.7874
SOR迭代 w=1.40 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=24
SOR渐近收敛速度是 0.4478
SOR迭代 w=1.60 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=35
SOR渐近收敛速度是 0.1969
SOR迭代 w=1.80 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=67
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 当前矩阵大小为 40*40
 jacobi 渐近收敛速度是 0.1092
 jacobi迭代完毕 满足要求所需最少迭代次数为 n=70
SOR渐近收敛速度是 0.7629
SOR迭代 w=1.00 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=23
SOR渐近收敛速度是 1.2517
SOR迭代 w=1.20 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=18
SOR渐近收敛速度是 0.7825
SOR迭代 w=1.40 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=27
SOR渐近收敛速度是 0.4454
SOR迭代 w=1.60 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=45
SOR渐近收敛速度是 0.1959
SOR迭代 w=1.80 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=76