傅里叶级数与傅里叶变换

背景

傅里叶级数和傅里叶变换是数学和工程领域中的重要工具，特别是在信号处理、图像处理和物理学中。傅里叶级数用于将周期函数表示为正弦和余弦函数的和，而傅里叶变换用于将任意函数表示为频率的函数。

公式

• 傅里叶级数：给定周期函数 $f(t)$，其傅里叶级数表示为：

  $$f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \left( \frac{2\pi n t}{T} \right) + b_n \sin \left( \frac{2\pi n t}{T} \right) \right)$$

  其中：

  $$a_0 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) \, dt$$
  $$a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cos \left( \frac{2\pi n t}{T} \right) \, dt$$
  $$b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \sin \left( \frac{2\pi n t}{T} \right) \, dt$$

• 傅里叶变换：给定函数 $f(t)$，其傅里叶变换表示为：

  $$\mathcal{F}(f)(\omega) = F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} \, dt$$

  其逆变换为：

  $$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} \, d\omega$$

示例题目

题目：求周期函数 $f(t) = t$ 在区间 $[-\pi, \pi]$ 上的傅里叶级数表示。

详细讲解

1. 计算 $a_0$：

   $$a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} t \, dt = 0$$

2. 计算 $a_n$：

   $$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-{\pi}}^{\pi} t \cos(nt) \, dt = 0$$

3. 计算 $b_n$：

   $$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} t \sin(nt) \, dt = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$$

因此，傅里叶级数为：

Python代码求解

python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 定义周期函数
def f(t):
    return t
# 定义傅里叶级数展开的项数
N = 10
# 定义傅里叶级数
def fourier_series(t, N):
    result = np.zeros_like(t)
    for n in range(1, N + 1):
        result += (2 * (-1)**(n + 1) / n) * np.sin(n * t)
    return result
# 生成时间点
t = np.linspace(-np.pi, np.pi, 1000)
# 计算傅里叶级数近似
f_approx = fourier_series(t, N)
# 绘图
plt.plot(t, f(t), label='Original function')
plt.plot(t, f_approx, label='Fourier series approximation')
plt.legend()
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('f(t)')
plt.title('Fourier Series Approximation')
plt.grid(True)
plt.show()

实际生活中的例子

在实际生活中，傅里叶变换用于信号处理，例如将音频信号转换为频谱，以分析不同频率的声音成分。傅里叶级数则在分析周期信号（如振动和电波）时非常有用。通过将复杂的周期信号分解为简单的正弦和余弦分量，可以更容易地理解和处理这些信号。

一个python例子

dart
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 定义周期函数的频率和系数
T = 2 * np.pi  # 周期
N = 5  # 傅里叶级数的项数
# 定义时间范围
t = np.linspace(-np.pi, np.pi, 1000)
# 定义傅里叶级数的各项
def fourier_series_terms(t, N):
    terms = []
    for n in range(1, N + 1):
        term = (2 * (-1)**(n + 1) / n) * np.sin(n * t)
        terms.append(term)
    return terms
# 计算傅里叶级数的各项
terms = fourier_series_terms(t, N)
# 绘图
plt.figure(figsize=(12, 8))
# 原始函数
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(t, t, label='Original function')
plt.title('Original Function')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('f(t)')
plt.legend()
plt.grid(True)
# 各项的和
plt.subplot(2, 1, 2)
sum_terms = np.zeros_like(t)
for i, term in enumerate(terms):
    sum_terms += term
    plt.plot(t, sum_terms, label=f'Term {i+1}')
plt.title('Sum of Fourier Series Terms')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('Sum of terms')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()